Conferência 10

Seja q uma potência de um número primo p e Fq o corpo finito de ordem q. Existe uma analogia entre os corpos numéricos, que são as extensões de dimensão finita de Q, e os corpos funcionais, que são extensões de dimensão finita do corpo Fq(θ). Análogos as variedades abelianas são os t-motivos de Anderson. Mas esta analogia não é completa. Enquanto as variedades abelianas são descritas por um parâmetro g, os t-motivos de Anderson possuem uma dimensão n e um posto r, que corresponde ao número 2g. Em analogia das extensões Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C nos consideramos extensões começando com o anel polinomial Fq[θ], o corpo quociente das funções racionais Fq(θ), a sua completação Fq((1/θ)), chamado o corpo de séries de Laurent, que é o analogo ao R, e o corpo C∞, que é a completação do fecho algebrico de Fq((1/θ)), analogo ao corpo C. O anel de Anderson Fq(θ)[t, τ ] é o anel de polinomios não-comutativos sobre Fq(θ) com relações: 1) t · τ = τ · t, 2) ∀a ∈ Fq(θ) t · a = a · t e 3) ∀a ∈ Fq(θ) τ · a = aq · τ . Um t-motivo de Anderson M é um módulo sobre Fq(θ)[t, τ ] tal que 1) M como Fq(θ)[t]-módulo é livre com posto r; 2) M considerado com Fq(θ)[τ ]-módulo é livre com dimensão finita n; 3) existe k > 0 tal que (t − θ)kM/τM = 0. Analogamente são definidos t-motivos de Anderson sobre C∞. Um t-motivo de Anderson de dimensão n = 1 e de posto r = 1 é chamado um módulo de Carlitz C. Na teoria das L-Funções dos módulos de Carlitz precisa-se investigar variedades algébricas descritas por resultantes. Um assunto de grande importancia são condições de submódulos para formação de análogo de reticulado relacionado à teoria de variedades abelianas. Semelhante à variedade Jacobiana de uma curva algébrica são construidas grupos de homologia e cohomologia para definir reticulados. Umt-motivo de Anderson é uniformizável, se estes reticulados possuem um posto maximal. São investigados critérios de uniformizabilidade de t-motivos de Anderson.